اسطوره های ریاضی: نسبت طلایی

این مقاله بر اساس بحث در یک سری سخنرانی در حال ادامه کالج گرشام است. می توانید ویدئویی از صحبت های زیر را مشاهده کنید.

بیشتر شما در مورد شماره ای به نام نسبت طلایی شنیده اید. به عنوان مثال ، در کتاب/فیلم کد داوینچی و در بسیاری از مقالات ، کتاب ها و پروژه های مدرسه ، که هدف آن نشان دادن چگونگی اهمیت ریاضیات در دنیای واقعی است ، به نظر می رسد. این توسط بسیاری از نویسندگان (از جمله نویسنده کد داوینچی) به عنوان اساس همه الگوهای زیبا در طبیعت توصیف شده است و گاهی اوقات به عنوان نسبت الهی گفته می شود. ادعا می شود که بخش اعظم هنر و معماری حاوی ویژگی هایی در نسبت هایی است که توسط نسبت طلایی داده شده است. به عنوان مثال ادعا می شود که هر دو پارتنون و اهرام به این نسبت هستند. همچنین ادعا شده است که نسبت طلایی در بدن انسان ظاهر می شود ، به عنوان مثال به عنوان نسبت ارتفاع یک بزرگسال به ارتفاع ناف آنها یا طول ساعد به دست.

با این حال ، در تمام حرفه من در استفاده از ریاضیات در دنیای واقعی ، من دقیقاً دو بار با نسبت طلایی روبرو شده ام. بله ، دو بار! بنابراین آیا هر یک از این ادعاهای عالی برای نسبت طلایی درست است؟

دوباره نسبت طلایی دوباره چیست؟

بیایید با یادآوری سریع آنچه در واقع نسبت طلایی چیست ، شروع کنیم. این توسط ریاضیدان یونان باستان اقلیدس به شرح زیر تعریف شده است. تصور کنید که یک بخش خط دارید که دوست دارید به دو قطعه تقسیم کنید. شما می خواهید آن را به گونه ای تقسیم کنید که نسبت بین کل بخش و طولانی تر از این دو قطعه برابر با نسبت بین طولانی تر از دو قطعه و کوتاه تر باشد. این نسبت چه باید باشد؟

کمی ریاضیات (اینجا را ببینید) نشان می دهد که این نسبت باید باشد

این واقعیت که به عنوان یک نسبت بین دو طول تعریف شده است به این معنی است که می توانید هر زمان که به چیزی نگاه می کنید که دارای بخش هایی از خطوط در آن باشد - چه چهره و چه یک ساختمان باشد ، به دنبال آن باشید.

نسبت طلایی در بدن انسان

قرار است نسبت طلایی در قلب بسیاری از نسبت های بدن انسان قرار داشته باشد. اینها شامل شکل صورت کامل و همچنین نسبت ارتفاع ناف به ارتفاع بدن است. در واقع ، ادعا می شود که تقریباً در مورد هر بخش از چهره کامل انسان پیوندی به نسبت طلایی دارد (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد چنین ادعاهایی ، به این مقاله مراجعه کنید).

شما می توانید انواع مستطیل را روی یک چهره زیبا قرار دهید و سپس ادعا کنید که زیبایی از نسبت مستطیل ناشی می شود.

با این حال، هیچ یک از اینها حتی از راه دور درست نیست. بدن نسبت‌های احتمالی زیادی دارد، که بسیاری از آنها بین 1 و 2 قرار دارند. اگر به اندازه کافی از آنها در نظر بگیرید، مطمئناً اعدادی نزدیک به مقدار نسبت طلایی (حدود 1. 618) خواهید داشت. این امر به ویژه در صورتی صادق است که چیزهایی که اندازه گیری می کنید به خوبی تعریف نشده باشند (مانند تصویر سمت چپ) و ممکن است تعریف را به گونه ای تغییر دهید که نسبت هایی را که می خواهید پیدا کنید به دست آورید.

اگر به اندازه کافی دقت کنید، نسبت هایی را در بدن انسان نزدیک به 1. 6، 5/3، 3/2، جذر 2، 42/26، و غیره خواهید یافت. در واقع اکثر اعداد بین 1 و 2 دارای دو خواهند بود. قسمت هایی از بدن که آنها را به نسبت تقریب می کند. الگوهای کاذب مشابهی نیز در منظومه شمسی مشاهده می شود (که همچنین دارای نسبت های مختلف زیادی است که می توانید از بین آنها انتخاب کنید). همچنین به یاد داشته باشید که از آنجایی که نسبت طلایی یک عدد غیر منطقی است (به پایین مراجعه کنید) هرگز آن را دقیقاً در هیچ اندازه گیری نخواهید دید.

همه اینها نمونه ای از روشی است که مغز انسان همبستگی های جعلی را پیدا می کند. در واقع با توجه به داده های کافی، می توان الگوهایی را یافت که تقریباً با هر فرضیه ای مطابقت دارند. یک راه خوب برای دیدن این موضوع این است که در یک روز آفتابی خوب به بیرون بروید و به ابرها نگاه کنید. دیر یا زود ابری را خواهید یافت که با برخی از الگوهای جدید مطابقت دارد. به عنوان نمونه به این مقاله بی بی سی نیوز نگاه کنید که در مورد مشاهده یک "ملکه جنگجو" در الگوی ابری گزارش می دهد.

این پدیده در واقع می تواند بسیار خطرناک باشد، زمانی که همبستگی های جعلی در داده ها برای اثبات یک نکته یافت می شود. به عنوان مثال، آنها می توانند به اتهامات نادرست و حتی محکومیت های نادرست منجر شوند. برای نمونه های زیادی از همبستگی های جعلی به این وب سایت مراجعه کنید.

مارپیچ، طلایی و غیره

اگر خطی را که به دو قسمت تقسیم شده است بردارید و نسبت طلایی آن باشد و سپس یک مستطیل با اضلاع و تشکیل دهید، به این مستطیل، مستطیل طلایی می گویند.

یک مستطیل طلایی از یک مربع (سفید) و یک مستطیل کوچکتر (خاکستری) تشکیل شده است. مستطیل کوچکتر نیز یک مستطیل طلایی است.

مستطیل طلایی که به تازگی تشکیل داده ایم از یک مربع و یک مستطیل کوچکتر تشکیل شده است که خود یک مستطیل طلایی است (برای اطلاعات بیشتر اینجا را ببینید). این مستطیل طلایی دوباره از یک مربع و یک مستطیل کوچکتر تشکیل شده است که خود یک مستطیل طلایی است. و غیره.

با استفاده از دنباله‌ای از مستطیل‌های طلایی کوچک‌تر و کوچک‌تر، می‌توانیم چیزی شبیه به یک مارپیچ را تشکیل دهیم. به سادگی یک چهارم دایره را در هر یک از مربع هایی که در مستطیل های طلایی ظاهر می شوند بکشید.

شکل مارپیچی ساخته شده از مستطیل طلایی.

اغلب ادعا می شود که این شکل مارپیچ مانند در بسیاری از مناطق در طبیعت و هنر می توان یافت. به عنوان مثال ، به عنوان شکل یک پوسته Nautilus ، شکل یک کهکشان ، شکل طوفان یا حتی یک موج.

اینجا دوتا مشکل داریم. اولا ، شکل مارپیچ نیست. این یک توالی از قوس های دایره ای است. همانطور که از یک قوس به دیگری می روید ، انحنای پرش مارپیچ. بعید نیست که در هر پدیده طبیعی چنین جهشی را شاهد باشیم. در حقیقت ، شکل فقط تقریب به یک مارپیچ واقعی است. شکل مارپیچی که تقریبی می کند ، نمونه ای از مارپیچ لگاریتمی است. چنین مارپیچ هایی از نظر طبیعت بسیار متداول هستند. آنها معادله قطبی دارند

where is the base of the natural logarithm. In nature we see such spirals everywhere, with different values of and depending on the context. The reason these spirals are so common is that they have the property of self-similarity . This means that if you rotate the spiral by any fixed angle then you get a spiral which is a rescaling of the original.

به اصطلاح مارپیچ طلایی دارای ارزش ویژه ای از آن است.

نسبت طلایی کجاست (و زاویه ها در رادیان اندازه گیری می شوند).

به هیچ وجه دلیلی وجود ندارد که چرا این تعداد به هیچ وجه خاص است. پوسته Nautilus یک مارپیچ لگاریتمی است زیرا خاصیت خود شنیع اجازه می دهد تا بدون تغییر شکل ، پوسته رشد کند. مقادیر مشاهده شده برای پوسته Nautilus هیچ ارتباطی با مقدار بالا ندارد ، با مقدار دیده شده که معمولاً در پوسته های واقعی دیده می شود.

هنر و معماری

ما باید اینجا مراقب باشیم. مطمئناً درست است که برخی از هنرمندان ، مانند Le Corbusier (در سیستم ماژولور خود) ، عمداً از نسبت طلایی در کارهای هنری خود استفاده کرده اند. این امر به این دلیل است که ادعا شده است که نسبت مستطیل طلایی به ویژه برای چشم انسان خوشایند است و از نظر زیبایی شناختی مستطیل طلایی را به همه مستطیل های دیگر ترجیح می دهیم. بنابراین استفاده از آنها در آثار هنری منطقی است. سپس ادعا می شود که نسبت طلایی تقریباً در هر اثر دیگر هنری و معماری قابل مشاهده است.

شواهد مستطیل طلایی به خصوص خوشایند است. به نظر می رسد مطالعات روانشناختی که مستطیل های مختلفی را برای گروه های افراد نشان می دهد ، نشان می دهد که طیف گسترده ای از ترجیحات وجود داشته است ، با نسبت ریشه مربع دو تا یک که اغلب بر دیگران ترجیح داده می شود. خود را روی مستطیل های زیر تست کنید تا ببینید کدام یک را ترجیح می دهید.

با توجه به کتاب زاویه دیولین نوشته کیث دولین: اسطوره ای که از بین نمی رود، این ایده که نسبت طلایی به هیچ وجه با زیبایی شناسی ارتباطی دارد اساساً از دو نفر سرچشمه می گیرد که یکی از آنها اشتباه نقل شده است و دیگری به اختراع متوسل شده است. نویسنده نادرست لوکا پاچیولی بود که کتابی به نام De Divina Proportione در سال 1509 نوشت. نام این کتاب از نسبت طلایی گرفته شد، اما در مورد نظریه زیبایی شناسی مبتنی بر نسبت طلایی بحث نکرد یا اینکه باید آن را اعمال کرد. به هنر و معماریچنین دیدگاهی در سال 1799 به اشتباه به پاچیولی نسبت داده شد.

پاچیولی با لئوناردو داوینچی دوست صمیمی بود و اغلب ادعا می‌شود که خود لئوناردو از نسبت طلایی در نقاشی‌هایش استفاده کرده است. هیچ مدرک مستقیمی در این مورد وجود ندارد. شاید معروف ترین این نمونه ها انسان ویترویی باشد. با این حال تناسبات در این نقاشی با نسبت طلایی مطابقت ندارد. در واقع لئوناردو در آثار خود فقط نسبت های اعداد کامل را ذکر کرده است. نمونه‌های فرضی نسبت طلایی که در عکس‌های او دیده می‌شود با نمونه‌هایی که این نسبت را در طبیعت پیدا می‌کنند، هم‌رده هستند.

دولین "مردمی شدن" نسبت طلایی را به آدولف زایزینگ، روانشناس آلمانی قرن نوزدهم نسبت می دهد که استدلال می کرد که نسبت طلایی یک قانون جهانی است که "زیبایی و کامل بودن را در قلمروهای طبیعت و هنر [. ] توصیف می کند. یک ایده‌آل معنوی برترین، همه ساختارها، اشکال و نسبت‌ها، خواه کیهانی یا فردی، ارگانیک یا معدنی، آکوستیک یا نوری.»این به سادگی یک مثال (مانند بالا) از دیدن الگوهای جعلی بود. با این حال، کار Zeising بر بسیاری دیگر تأثیر گذاشت و پایه‌های بسیاری از اسطوره‌های مدرن را پایه‌گذاری کرد.

به اصطلاح مارپیچ طلایی که بر روی پارتنون قرار گرفته است. هیچ مدرکی دال بر نقش داشتن نسبت طلایی در طراحی این بنا وجود ندارد. تصویر زیرین پارتنون: Oyvind Solstad، CC BY 2. 0.

نمونه دیگری از این افسانه این ادعاست که نسبت طلایی در نسبت های پارتنون، بخشی از آکروپولیس در آتن ظاهر می شود.

هیچ مدرکی در مورد این امر در بورس تحصیلی یونان وجود ندارد ، و این ایده که پارتنون نسبت هایی که نسبت به آن نسبت طلایی داده شده است ، فقط به دهه 1850 باز می گردد. علاوه بر این ، اندازه گیری های واقعی پارتنون نسبت به نسبت طلایی نسبت به نسبت طلایی نسبت ها را نشان نمی دهد ، مگر اینکه در انتخاب مستطیل خود مراقب باشید. در حقیقت ، پارتنون ظاهر هماهنگ خود را از استقرار هوشمندانه خطوطی که به صورت موازی به نظر می رسند ، اما در واقع همگرا یا منحنی به نظر می رسد ، می گیرد ، بنابراین اندازه گیری دقیق به اندازه کافی غیرممکن است تا نسبت های دقیقی را ارائه دهند. از آنجا که نسبت های پارتنون با ارتفاع آن متفاوت است ، به سادگی نمی توان یک نسبت کلی را پیدا کرد که با نسبت طلایی موافق باشد.

همین مورد در مورد بقیه معماری یونانی نیز صدق می کند: هیچ مدرکی وجود ندارد که یونانیان نسبت طلایی را از نظر زیبایی شناسی در نظر بگیرند ، یا اصلاً از آن در هنر و معماری خود استفاده می کردند.

It also applies to music. It is claimed that the golden ratio is important in musical composition. There is little evidence of this. However what is important in composition is the scale, and the scale is very closely linked to the twelfth root of 2. It is this latter number which lies at the heart of music, not the golden ratio [reference>.

در این اسطوره های مداوم در مورد نسبت طلایی خطر بسیار واقعی وجود دارد. کودکان مدرسه و بسیاری دیگر در مورد نحوه کار ریاضی به یک واقعیت دروغین فریب خورده اند. دیر یا زود آنها متوجه خواهند شد که این واقعیت نادرست است و به توانایی بسیار واقعی ریاضیات برای توضیح جهان ایمان از دست می دهد.

واقعیت بزرگ

با تأکید بر نسبت طلایی ، من می خواهم این بخش را با تأکید بر اینکه چقدر نسبت طلایی نسبت طلایی بسیار شگفت انگیز است ، نتیجه بگیرم - واقعاً به همه آن ادعاهای فریبنده احتیاج ندارد تا آن را خاص کند.

اول ، بیایید به پدیده های طبیعی مراجعه کنیم که واقعاً مربوط به نسبت طلایی است. نسبت طلایی ارتباط نزدیکی با توالی معروف فیبوناچی دارد

در اینجا می توانید اطلاعات بیشتری در مورد این لینک کسب کنید. دنباله فیبوناچی مطمئناً در طبیعت ظاهر می شود زیرا هم به شیوه رشد جمعیت در ارتباط است ، و همچنین به روشی که شکل ها را می توان در کنار هم قرار داد. به عنوان مثال ، این توالی را می توان در مارپیچ های گلهای خورشید مشاهده کرد که باید به روشی مرتب شده در کنار هم قرار بگیرند ، و در برگهای روی برخی از گیاهان که برای گرفتن بیشترین نور خورشید باید مرتب شوند. در نتیجه می توان نسبت های نزدیک به نسبت طلایی ناشی از پدیده های طبیعی خاص را مشاهده کرد (در اینجا اطلاعات بیشتری کسب کنید).

این پدیده ها شامل توزیع هواپیماهای بدون سرنشین به زنبورهای زن در یک زنبور عسل است که به روشی که زنبورها در بسیاری از نسل ها تولید می کنند مرتبط است (در اینجا اطلاعات بیشتری کسب کنید). بنابراین در واقع می توان نسبت طلایی را در باغ مشاهده کرد و دلایل ریاضی بسیار خوبی برای این امر وجود دارد.

فیبوناچی هنگام در نظر گرفتن رشد جمعیت خرگوش های ایده آل ، دنباله خود را به دنبال داشت. برای کسب اطلاعات بیشتر به این مقاله مراجعه کنید.

اما شاید حتی جالب تر از ویژگی های جالب ریاضی نسبت طلایی باشد. اینها در مقالات مختلف به علاوه بررسی شده است ، اما من می خواهم به مواردی اشاره کنم که به خصوص جذاب است و واقعاً نسبت طلایی را از سایر اعداد جدا می کند: غیر منطقی بودن آن.

اعداد غیرمنطقی اعدادی هستند که نمی توانند توسط کسری نشان داده شوند و دارای گسترش اعشاری نامتناهی هستند که به یک بلوک مکرر پایان نمی یابد. این واقعیت به این معنی است که مشاهده اعداد غیر منطقی در طبیعت دشوار است. نسبت طلایی خاصیت شگفت انگیز بودن غیر منطقی ترین تعداد آنها را دارد. این بدان معناست که نه تنها نمایش آن دقیقاً به عنوان کسری امکان پذیر نیست ، بلکه حتی نمی توان آن را به راحتی با کسری تقریب داد. برای جزئیات ریاضی به این مقاله مراجعه کنید.

دشواری تقریب نسبت طلایی توسط کسری ، آن را برای ریاضیدانان و دانشمندان مورد مطالعه روند همگام سازی به یک عدد بسیار مفید می رساند. این زمانی اتفاق می افتد که سیستمی با فرکانس طبیعی توسط یکی از فرکانس های مختلف مجبور شود و فرکانس اجباری را اتخاذ کند. یک مثال هماهنگ سازی بدن انسان به فرکانس روزانه نور خورشید است. مثال دوم آب و هوای زمین است که همزمان با چرخه های طبیعی مدار اطراف خورشید است.

با این حال ، هماهنگ سازی می تواند یک مشکل باشد و منجر به تشدید ناخواسته در یک سیستم شود (مانند یک پل تعلیق که اگر یک باند راهپیمایی روی آن قدم می زند به شدت ارتعاش می کند). با انتخاب دو فرکانس در نسبت ما می توانیم از هماهنگی به دلیل غیر منطقی بودن نسبت طلای خودداری کنیم. به نظر می رسد این خاصیت بسیار مفید توسط گونه های مغز و حشرات و همچنین دانشمندان آب و هوا و حتی افرادی که هواپیما تولید می کنند مورد سوء استفاده قرار می گیرد.

بنابراین نسبت طلایی نقش ستاره ای دارد ، اما نه یکی که اغلب در اساطیر مرتبط با آن می خوانید. این یک حیف عالی است! این یک پارادوکس دوست داشتنی است که جالب ترین چیز در مورد نسبت طلایی این است که این نسبت نیست.

درباره نویسنده

این مقاله بر اساس بحث در سریال سخنرانی در حال انجام کالج گرشام Budd است (به فیلم بالا مراجعه کنید). می توانید مقالات دیگر را بر اساس صحبت در اینجا مشاهده کنید.

Chris Budd OBE استاد ریاضیات کاربردی در دانشگاه باث، معاون مؤسسه ریاضیات و کاربردهای آن، رئیس ریاضیات مؤسسه سلطنتی و عضو افتخاری انجمن علمی بریتانیا است. او به ویژه به کاربرد ریاضیات در دنیای واقعی و ارتقای درک عمومی از ریاضیات علاقه مند است.

او در نوشتن کتاب محبوب ریاضیات Mathematics Galore همکاری داشته است! منتشر شده توسط انتشارات دانشگاه آکسفورد، با سی. سانگوین، و ویژگی های کتاب 50 Visions of Mathematics ویرایش. سام پارک

نظرات

نسبت طلایی در موسیقی

ادعای نسبت طلایی در موسیقی در واقع به فرم اشاره دارد، نه به فرکانس (اگرچه این مانع از ساخت موسیقی با کوک های مرتبط با نسبت طلایی نمی شود، اما به هر حال). ادعا این است که اگر کار با فرم AB داشته باشید، بخش های A و B در حالت ایده آل دارای مدت زمان هایی در نسبت طلایی و غیره خواهند بود، زیرا نسبت طلایی بهترین تعادل را بین مدت زمان یا موارد دیگر فراهم می کند. من فکر می کنم ادعا می شود که این نسبت را می توان به طور خاص در موسیقی موتزارت یافت.

در حالی که ما در آن هستیم، 2^(1/12) نیز خاص نیست. این بیشتر یک تصادف و یک سازش است. نسبت‌های فرکانسی «ایده‌آل» در اعداد کامل کوچک هستند، اما اینها با برخی چالش‌های ریاضی همراه هستند (مانند این واقعیت که (3/2)^4 ≠ 5) و به طور کلی تصمیم گرفته شد که بر روی یک سیستم سازش با 12 مرحله مساوی بااکتاو به جای گام های نابرابر با اعداد "زیباتر" یا مثلاً تعداد متفاوت گام های مساوی (مانند 19 یا 31).

نسبت طلایی در موسیقی

پیوند ثابت ارسال شده توسط Manjunath Mahashetti (تأیید نشده) در 22 نوامبر 2020 در پاسخ به نسبت طلایی در موسیقی توسط Mauro (تأیید نشده است)

نسبت طلایی به طور گسترده ای در ضرب های درام متفاوت در موسیقی کارناتیک انجام می شود. آنها از قانون به نام "سری هماچاندرا - حدود 100 سال قبل از خود فیبوناچی" پیروی می کنند. همچنین ساختار قواعد ملاکارتا را در موسیقی کارناتیک ببینید. دوست دارم در مورد آن بحث کنیم

نسبت نیست؟

قسمت کوچکتر به بزرگتر می رود همانطور که بزرگتر به کل می رود. بنابراین بخش کوچک، نسبتی است از بخش بزرگتر به همان نسبتی که بخش بزرگتر به یک کل می رود. چگونه این یک نسبت نیست؟

بیانیه اشاره به

پیوند ثابت ارسال شده توسط ماریان در 27 آوریل 2020 در پاسخ به نسبتی نیست؟توسط راسامایا (تأیید نشده)

این بیانیه به این واقعیت اشاره دارد که فی غیرمنطقی است، بنابراین نسبتی بین دو عدد صحیح نیست.

درجه و رادیان

مقاله عالی که کل "نسبت طلایی" را به نمایش می گذارد! اما یک نظر: شما نمی توانید بگویید "درجات بر حسب رادیان اندازه گیری می شوند"، همانطور که در پاراگراف بعدی تا آخر بخش با عنوان "مارپیچ، طلایی و غیره" وجود دارد. مثل این است که بگوییم "متر بر حسب فوت اندازه گیری می شود".

خیلی درسته، ممنون

پیوند ثابت ارسال شده توسط ماریان در 27 آوریل 2020 در پاسخ به درجه و رادیان توسط Raúl A. Simón … (تأیید نشده است)

بسیار درست است، ممنون که به آن اشاره کردید. ما آن را اصلاح کرده ایم.

موفقیت تجاری لگو

توجه داشته باشید که در آجرهای لگو نسبت طلایی را در چندین جنبه از جمله رابطه گل میخ ها و لوله ها می توان یافت. ادعا شده است که این سیستم نقش مهمی در موفقیت تجاری آنها داشته است، اگرچه ممکن است این سیستم تا حدی از طرح های معماری لوکوربوزیه الهام گرفته شده باشد.

تقریب به کسری

آیا نمی توانیم از 2 عدد فیبوناچی متوالی (در محدوده بالاتر) برای تقریب نسبت طلایی استفاده کنیم؟

تقریب فی

پیوند ثابت ارسال شده توسط Chris Budd (تأیید نشده) در 19 نوامبر 2020 در پاسخ به تقریب به کسری توسط Jayadeep (تأیید نشده)

بله، شما می توانید، و در واقع اینها بهترین تقریب های منطقی به نسبت طلایی هستند. با این حال، آنها هنوز هم تقریب ضعیفی هستند و حتی اگر اعداد را در محدوده بالاتر بگیرید، تقریب خوب نیست و فقط به آرامی به مقدار صحیح همگرا می شود. این در تضاد با یک عدد ماورایی مانند پی است که با استفاده از کسری می توانید خیلی بهتر آن را تقریب کنید. به عنوان مثال، تقریب پی که با 355/113 داده شده است، در واقع بسیار خوب است، و بسیار بهتر از آن چیزی است که برای ph برای نسبت دو عدد متوالی در دنباله فیبوناچی مانند 233/144 دریافت می کنید.

تقریب به کسری

پیوند ثابت ارسال شده توسط R. Mashlan (تأیید نشده) در 30 نوامبر 2021 در پاسخ به تقریب به کسری توسط Jayadeep (تأیید نشده)

بله، تو میتونی. این به این دلیل است که هر دنباله بازگشتی خطی مانند دنباله فیبوناچی به تناسب با نسبت طلایی افزایش یافته به توان n برای جمله n نزدیک می شود (به فرمول Binet برای دنباله های بازگشتی خطی تعمیم یافته مراجعه کنید). یوهانس کپلر در Harmonics Mundi که در سال 1619 منتشر شد، و حتی پیش از آن توسط یک ریاضیدان آلمانی کمتر شناخته شده سیمون جاکوبز، حدس زد.

عدم صحت اظهارات شما

شما فرض می کنید که نسبت طلایی به شدت محدود به تشکیلات دقیق است. اینطور نیست و هیچ کس هرگز ادعا نکرده است که بوده است.

این واقعیت که شما تعمیم یافته ای را که به طور متوسط امتحان می کنید ، پس از شکایت از نمونه های فردی که مطابق با آن نیست ، شکایت کردید ، عدم درک ناخالص از برنامه های ریاضی را نشان می دهد.

شما در حال نگاه به نمودار پراکندگی هستید که از 8T شکایت می کند نه خطی.

برای من توضیح دهید پس چرا زندگی با نسبت طلایی مطابقت دارد؟چرا گلها 3 یا 5 افزایش گلبرگ دارند؟نسبت X2 گرد یا X4 گرد.

شما نادیده می گیرید که این یک شماره زنده است و زندگی همه چیز را دور می زند زیرا نمی توانید یک گلبرگ یا سر جزئی به عنوان یک استاندارد داشته باشید.

مثال پانتئون شما به نوعی جلو را اندازه گیری می کند؟هنگامی که نسبت طلایی به پایه اعمال می شود.

بزرگترین مسئله این است که شما به وضوح فکر می کنید که ریاضی واقعیت ناخوشایند است. نه. ریاضی توصیف ما از جهان است. به عنوان مثال اگر می گویم هیچ درختی بلندتر از ده افزایش نیست. سپس تعریف می کنیم که افزایش ارتفاع درختان را تغییر نمی دهد.

علاوه بر اینو وحشتناک ترین از همه. شما برای محاسبه نسبت طلایی از یک معادله نادرست استفاده می کنید. 1+ریشه 5 بیش از 2؟نه

Golden ratio is a mathematical feed back loop. X= 1+1/x. So 1+1/(1+1/[1+1/>]).

هنگامی که معادله شما ناقص است و شما در تلاش هستید تا آن را مجبور کنید کاملاً در علمی کار کنید که به طور گسترده به عنوان متغیر AKA Soft Science شناخته شود. و به تعمیم متکی است و قانون غیرقابل تحمل نیست.

شما همچنین با این مسئله روبرو هستید که به نوعی متقاعد شده است که این نسبت یک مستطیل دو بعدی است که به شکل های سه بعدی اعمال می شود.

شاید شاخه های یک درخت را اندازه گیری کرده و تماشا کنید که نسبت چگونه شاخه ها را تقسیم می کند؟

من دارم. 75 ٪ دقیق آن. هنگامی که ریاضیات را به علوم نرم اعمال می کنید که از هر چیزی که برای اندازه گیری موجودات زنده استفاده می شود ، متفاوت است. 75 ٪ -80 ٪ برای بیان یک قانون کافی است.

استدلال شما کاملاً صریح تمام علوم پزشکی را رد می کند زیرا هیچ دو نفر قلب یکسان ندارند و از آنجا که از نظر ریاضی یکسان نیست ، باید به این معنی باشد که تئوری بیماری قلبی اشتباه است زیرا هر قلب یکسان نیست.

برای رد یک نظریه مانند این ، شما نمی توانید آن را همانطور که دارید رد کنید. اینگونه نیست که علم کار می کند. شما باید تلاش کنید تا آن را اثبات کنید و پیدا کنید که چه چیزی آن را کاملاً شکسته است که آن را رد می کند. لطفاً مثالی را مطرح کنید که هیچکدام از آنها مطابقت نداشته است (نه فقط اکثریت). به نظر می رسد شما آزمایش های زیادی انجام داده اید اما از بررسی میانگین های تقریباً دقیقاً بر روی این نسبت خودداری می کنید.

نسبت هیچ یک دقیقاً 1. 6 نخواهد بود. اما هرچه زمان بیشتری آن را آزمایش کنید ، به 1. 6 نزدیکتر می شود. نسبت طلایی پاسخ دقیقی نیست. اما نتایج خود را از طریق نمودار حساب قرار دهید. شما مانند محدودیت ها پیدا خواهید کرد ، هرچه نمونه های بیشتری به حد 1. 6 نزدیک شوید نمودار شما به دست می آید.

بررسی نمونه های فردی و نه به عنوان یک کل این نیست که شما ریاضی یا علوم را انجام می دهید.

شما استدلال نسبت طلایی را رد نکرده اید و حتی دندانپزشکی نکرده اید. شما فقط حقایق متغیر را استدلال کرده اید که هواداران نظریه های نسبت طلایی قبلاً با موفقیت اختلافات ظاهری را با موفقیت توضیح داده اند.

اگر به سادگی این واقعیت را نادیده بگیرید که ریاضی اندازه گیری الگوهای در طبیعت است و نسبت طلایی الگوی مداوم در زندگی است. شما نسبت طلایی را نفی نکردید ، ریاضی و علوم را رد کردید.

هنگامی که ریاضیات خود را رد می کند ، معمولاً به این معنی است که فرد اشتباه کرده است زیرا ریاضی نمی تواند خود را از نظر ماهیت خود رد کند. من معتقدم که چاپ نادرست شما از بخش نسبت علت اصلی است. معادله شما اساساً قبل از محاسبات ، PI را به 3. 14 تبدیل می کند. این نوع تبدیل زودهنگام یک عدد ثابت باعث اختلافات گسترده در ریاضیات شما می شود. معادلات من با تبدیل نکردن نسبت های من ، همیشه دارای متغیر +کوچکتر از استاد من در حساب کاربری بودند. من فرض می کنم شما انتظار پاسخ های دقیق را در یک علم نرم دارید و از مشاهده همه نتیجه خود به صورت عینی (از طریق طرح پراکندگی یا میانگین) امتناع می ورزید ، منجر به این ناسازگاری های شدید در تلاش خود برای این تئوری شد.

ماهیت زندگی تقریب آن است ، گرد کردن یک معادله جهانی که قفل آن را باز نکرده ایم. اما نسبت طلایی در نهایت بخشی از آن است زیرا نسبت طلایی نزدیکترین شماره ای است که می توانیم به Infinite برسانیم.

محاسبه نسبت طلایی

لینک ثابت ارسال شده توسط Laszlo (تأیید نشده) در 11 اوت 2021 در پاسخ به عدم دقت بیانیه شما. توسط Patrondemon (تأیید نشده)

فقط یک یادآوری سریع: شما کاملاً می توانید نسبت 1 + SQRT (2) / 5 را به درستی و همچنین با "حلقه برگشت خوراک" خود محاسبه کنید. دو روش برای نتایج مشابه.

منبع: https://en. wikipedia. org/wiki/golden_ratio در اینجا فرمول "حلقه فید پشتی" شما در زیر بخش "فرم ادامه" نشان داده شده است و فرمول ریشه مربع تحت بخش "فرم جبری" نشان داده شده است.

BTW ، FUN FACT: NASA از PI چه مقدار از PI برای بالاترین محاسبات مداری خود استفاده می کند؟10،000؟5000؟1000؟فقط 15! برای فضاپیمای Voyager این عدم دقت با خطای موقعیت خود تنها 1. 5 اینچ پس از سفر بیش از 12. 5 میلیارد مایل برابر است.

اثبات عدم دقت

لینک ثابت ارسال شده توسط کارل لو (تأیید نشده) در 6 سپتامبر 2021 در پاسخ به عدم دقت بیانیه شما. توسط Patrondemon (تأیید نشده)

Patrondemon ، با خواندن مقاله ویکی پدیا در مورد نسبت طلایی ، اکنون به اثبات وحشت شما نیاز دارم. مقاله ویکی پدیا نسبت طلایی را از محلول درجه دوم برای x^ 2-x -1 = 0 در هر تعریف شفابخش بودن نسبت های قطعه خط بدست می آورد. این همچنین تعریف و اشتقاق به نقل از نویسنده است. مقاله ویکی پدیا همچنین کسر مداوم شما را به عنوان یک فرمول جایگزین برای همان تعداد ذکر می کند. وحشت کجاست؟

معادله

لینک ثابت ارسال شده توسط Skothr (تأیید نشده) در 9 سپتامبر 2021 در پاسخ به عدم دقت بیانیه شما. توسط Patrondemon (تأیید نشده)

[من تازه فهمیدم که پاسخ من پیوند تصادفی دارد ، بنابراین ممکن است فیلتر شده باشد. این یک نسخه مستقیم بدون پیوند است.]

من با برخی از نکات شما در سطح بالایی موافقم ، اما حداقل آنها معادله را صحیح دارند. این یک تقریب نیست-غیر منطقی بودن از ریشه مربع 5 حاصل می شود. من وقتی که برای اولین بار دیدم چنین بیان به سادگی تعریف شده با PHI برابر است ، خودم را از خود محافظت کردم.

اما ریاضی با همان عبارتی که ارائه دادید کار می کند.

بگذارید x = (1 + sqrt (5)) / 2 اثبات: x = 1 + 1 / x

محاسبه 1/x: 1/x = 1/((1 + sqrt (5))/2) = 2/(1 + sqrt (5)): [1/(a/b) = b/a] = 2*(1 - Sqrt (5)) / (1 - 5): [ضرب توسط (1 - Sqrt (5)) / (1 - SQRT (5))] = 2*(1 - SQRT (5)) / ((-4): [مخرج را با افزودنی ساده کنید] = (1 - SQRT (5)) / (-2): [ضریب 2] = (SQRT (5) - 1) / 2: [ثبت نام منفیشمارنده]

این 1/x است ، بنابراین اکنون 1 را اضافه کنید تا (1 + 1/x) دریافت کنید:

1 + 1/x = 2/2 + (SQRT (5) - 1)/2: [2/2 = 1 و 1/x = (SQRT (5) - 1)/2] = (2 + SQRT (5) - 1) / 2: [ترکیبی از کسری با همان مخرج] = (1 + SQRT (5)) / 2: [ترکیبات ترکیب را در شماره ، 2 - 1 = 1] = x

بنابراین ، x = 1 + 1/x if x = (1 + sqrt (5))/2 οεδ

به شخصه ، اهمیت ریشه مربع 5 مرا به یاد Dodecahedron (ساخته شده از پنجه ها) می اندازد که افلاطون فکر می کرد نماینده کیهان است.

اسطوره نسبت طلایی

لینک ثابت ارسال شده توسط KHOA (تأیید نشده) در 15 سپتامبر 2021 در پاسخ به عدم دقت بیانیه شما. توسط Patrondemon (تأیید نشده)

وای، از شما بسیار متشکرم. به نوعی شما می توانید به من کمک کنید تا در مورد آمار و چگونگی استفاده از ریاضیات در علم نرم ، بیشتر درک کنم. من یک متخصص در این زمینه نیستم ، بنابراین می توانم این پیام را به عنوان قدردانی از وقت برای توضیح این موضوع به شما ارائه دهم. من همچنین بیشتر می فهمم که چرا حساب در یافتن حد بسیار مهم است ، چیزی که 2 سال از تماشای ویدیوی YouTube در این زمینه مرا فرار می کند.

Phi & Pi Solución Maya ، Aproximada (Mora-Echeverría ، 2002)

لینک ثابت ارسال شده توسط Jesús (تأیید نشده) در 9 اکتبر 2021 در پاسخ به عدم دقت بیانیه شما. توسط Patrondemon (تأیید نشده)

1.- 820/261 = 3. 14176 (numérica) 2.- (1+ 1/5) * (phi)^2 = 3. 141641 (Geométrica)

متشکرم که به من اطلاع دادید دیوانه نشده ام

کریس ، من در حال انجام دقت خودم برای پروژه ای بودم که می خواستم در مورد نسبت طلایی انجام دهم و می خواستم نمونه ای از نسبت طلایی (یا مارپیچ طلایی) را در طبیعت و صفحه وب ارائه دهم پس از صفحه "نمونه هایی از آنچه فکر می کردم به من دادمن به دنبالش بودمبا بازرسی دقیق تر ، به نظر می رسید حدس وحشی است که مارپیچ مورد استفاده یک مارپیچ طلایی است و در واقعیت بود ، فکر می کردم فقط یک مارپیچ لگاریتمی است که انواع مختلفی از آن وجود دارد. من همچنین بسیاری از آثار هنری را با مستطیل های طلایی در سرتاسر آنها دیدم که موقعیت های ویژگی ها را نشان می دهد. با دیدن این موارد ، من فکر کردم می توانم هر عکس یا اثر هنری بگیرم و به شکار مستطیل طلایی بروم تا این روابط را از بین این ویژگی ها پیدا کنم. من فکر کردم همه چیز یک کلاهبرداری است یا من یک نکته را از دست داده ام تا اینکه مقاله شما را دیدم که وضعیت ذهنی من را کاملاً بیان کرده است.

من از این واقعیت که نسبت طلایی نیازی به تزئین ندارد ، دوست دارم. من فکر می کنم این نسبت خوشایند است و در برخی از طرح های مبلمان که انجام داده ام گنجانده ام اما می فهمم که این انتخاب ممکن است جذاب ترین برای همه نباشد. هنگامی که با انتخاب های طراحی در محل قرارگیری روبرو می شوید ، با توجه به روابط نسبت طلایی مکان بدی برای شروع نیست.

نسبت طلایی

لینک ثابت ارسال شده توسط E X Stoat (تأیید نشده است) در 15 نوامبر 2021 در پاسخ به تشکر از شما که به من اطلاع دادید که من دیوانه دیوید گالاگر (تأیید نشده است)

من به عنوان یک دانشجوی معماری در دهه 70-80 من ناامیدانه می خواستم اثبات کنم که مدرنیسم صرفاً "بیان سبکی از یک فلسفه خاص" نیست که به خودی خود به مطالعه ماژولور کوربو می پردازد ، فهمیدم که ، در حالی که یک معمار عالی ، استدلال منطقی او نبودفورتمن هنوز استنسیل های فلزی الفبای او را در جایی دارم.

"تصورات غلط اسطوره ای در مورد نسبت طلایی"

من معتقدم که مقاله شما بر اساس مقاله دکتر مورکوفسکی در سال 1992، "تصورات غلط در مورد نسبت طلایی" است، که مانند مقاله شما، کاربردهای نسبت طلایی برای هنر در معماری در فرهنگ غربی را که از یونان کلاسیک شروع می شود، رد می کند. به نظر می رسد دولین، که اغلب مقاله مورکوفسکی را نقل می کند، «محبوب شدن» نسبت طلایی را به شخصیت فرعی آدولف زایزینگ نسبت می دهد.

من معتقدم که این استدلال های رد کننده اشتباه است. اولاً، هنرمندان و معماران معمولاً عادت ندارند به صراحت استدلال خود را در پس تصمیمات خلاقانه خود مستند کنند و چنین شواهد مکتوبی را برای مورخان پشت سر بگذارند. ثانیاً، در دوران رنسانس اروپا، عناصر اقلیدس کتاب درسی اساسی در هندسه و ریاضیات بود. این کتاب درسی کمتر از ده مرجع به «نسبت افراطی و متوسط» ندارد و هر دانش‌آموز هندسه که از این متن یاد می‌گیرد باید چندین گزاره را که به نسبت طلایی نیاز دارند کار می‌کرد.

مطالعه عناصر اقلیدس تا اواسط قرن بیستم در دانشگاه‌های اروپایی الزامی بود، و توضیح اینکه چرا «نسبت افراطی و پست» تأثیر نامناسبی بر هنر و معماری غرب نخواهد گذاشت، دشوار است، زیرا من تصور می‌کنم این هنرمندان و معماران فرهیخته هستند. از گذشته، همه یک نسخه از این کتاب درسی را در قفسه کتاب خود داشتند.

پارتنون، که تنها دو قرن قبل از اینکه اقلیدس اسکندریه دانش یونان باستان را در مورد هندسه در عناصر خلاصه کند، ساخته شده است، دارای عناصر نسبت طلایی در طراحی خود است، واضح ترین آنها در آثار هنری کتیبه شده در نمای بالایی است، جایی که مستطیل های طلایی زیادی در آن یافت می شود. نادیده گرفتن قسمت جلوی پارتنون که دارای نسبت طلایی است توسط مورکوفسکی به تفریق راحت استایلوبات (پایه پایه و مجموعه مراحل آن به سطحی که ستون ها در آن قرار دارند منتهی می شود) مربوط می شود و او هیچ تحقیق بیشتری انجام نمی دهد. استفاده از نسبت طلایی در معماری پارتنوناین اخراج توسط دولین و لیویو و دیگران تکرار شده است و مایه تاسف است زیرا به ابعاد اسطوره ای می رسد.

نسبت طلایی در سراسر هنر و معماری رنسانس و فراتر از آن یافت شده است. به عنوان مثال ، Pyramide du Louvre را که در ورودی موزه لوور در پاریس ساخته شده بود ، در نظر بگیرید و توسط معمار چینی-آمریکایی قرن بیستم I. M. PEI طراحی شده است. PEI اظهار داشته است که طراحی این هرم مبتنی بر ابعاد اهرام بزرگ مصر نیست ، بلکه در عوض بر نسبت طلایی است.

سرانجام ، من برای بررسی معماری و چیدمان خیابانی واشنگتن ، D. C ، شهر پیش بینی شده در اوایل قرن نوزدهم که پایتخت ایالات متحده است ، ارائه می دهم که بسیاری از جلوه های آشکار از نسبت طلایی وجود دارد. اگرچه تصمیمات طراحی به صراحت مستند نشده است ، اما ممکن است استنباط شود که از آنجا که بسیاری از پدران بنیانگذار ایالات متحده فراماسون ها بودند ، جامعه ای مخفی که منشأ صنفی سنگسار رنسانس است ، گنجاندن این "هندسه مقدس" غیر منتظره نیست.

مربع کردن دایره

نسبت طلایی نیز هنگام حل مشکل هندسی باستانی مربع دایره با استفاده از روش یین یانگ نشان می دهد. که من معتقدم حداقل مراحلی است که می توانید برای "حل" مشکل استفاده کنید. جالب اینجاست که این دایره نمایانگر روح یا متافیزیکی است و میدان نمایانگر دنیای فیزیکی است که ما در آن زندگی می کنیم و فی بین آنها قرار دارد. مربع ، که اساسی ترین شکل 2 بعدی ممکن است ، این هواپیمایی را که ما در آن زندگی می کنیم و دایره است ، نشان می دهد ، یک شکل 1 بعدی نشان دهنده روح ، phi است ، که به نظر می رسد مانند یک رشته ارتعاش در محلول ، زیبایی است که این دو را پل می کند